Ta thấy nếu đặt $t=\cos x$ với $x\in \left( 0;\frac{\pi }{3} \right)$ thì $t\in \left( \frac{1}{2};1 \right)$ . Tức là tìm điều kiện để hàm số $y=f\left( t \right)=\frac{2t+3}{2t-m}$ nghịch biến trên khoảng $\left( \frac{1}{2};1 \right)$ .

Xét $y'=\frac{2.\left( -m \right)-3.2}{{{\left( 2t-m \right)}^{2}}}=\frac{-2m-6}{{{\left( 2t-m \right)}^{2}}}$ . Để thỏa mãn yêu cầu của đề bài thi $y'>0$ với mọi $t\in \left( \frac{1}{2};1 \right)$. Tức là $\frac{-2m-6}{{{\left( 2t-m \right)}^{2}}}>0$ với mọi $t\in \left( \frac{1}{2};1 \right)$ $\Leftrightarrow -2m-6>0\Leftrightarrow m<-3$