ADME là S$_{1}$ ; BMC là S$_{2}$
Vì AB = AC, AD = EC nên: AB – AD = AC – EC hay BD = AE
$\Delta ABE$ và $\Delta ABC$ có chung đường cao hạ từ B nên: $\frac{{{S}_{ABE}}}{{{S}_{ABC}}}=\frac{AE}{AC}$
$\Delta BCD$ và $\Delta BCA$ có chung đường cao hạ từ C nên: $\frac{{{S}_{BCD}}}{{{S}_{BCA}}}=\frac{BD}{AB}$
Vì
$\begin{align}
& \frac{AE}{AC}=\frac{BD}{AB}\Rightarrow \frac{{{S}_{ABE}}}{{{S}_{ABC}}}=\frac{{{S}_{BCD}}}{{{S}_{BCA}}}\Rightarrow {{S}_{ABE}}={{S}_{BCD}}\Rightarrow {{S}_{ADME}}+{{S}_{BDM}}={{S}_{BMC}}+{{S}_{BDM}} \\
& \Rightarrow {{S}_{ADME}}={{S}_{BMC}}\Rightarrow {{S}_{1}}={{S}_{2}} \\
\end{align}$
Vậy: ${{S}_{1}}:(2\times {{S}_{2}}+4\times {{S}_{1}})=\frac{{{S}_{1}}}{2\times {{S}_{1}}+4\times {{S}_{1}}}=\frac{{{S}_{1}}}{6\times {{S}_{1}}}=\frac{1}{6}$