a) $\Delta $BNC và $\Delta $BAC có chung đường cao hạ từ B, nên:
$\frac{{{S}_{BNC}}}{{{S}_{BAC}}}=\frac{NC}{AC}=\frac{1}{4}\Rightarrow {{S}_{BNC}}=\frac{1}{4}{{S}_{BAC}}=9c{{m}^{2}}$
$\Delta $BNC và $\Delta $MNC có chung đường cao hạ từ N, nên:
$\frac{{{S}_{BNC}}}{{{S}_{MNC}}}=\frac{BC}{MC}=\frac{3}{2}\Rightarrow {{S}_{MNC}}=\frac{2}{3}{{S}_{BNC}}=6c{{m}^{2}}$
${{S}_{ABMN}}={{S}_{ABC}}-{{S}_{MNC}}=36-6=30c{{m}^{2}}$
b)
$\Delta $AKN và $\Delta $CKN có chung đường cao hạ từ K, nên:
$\frac{{{S}_{AKN}}}{{{S}_{CKN}}}=\frac{AN}{CN}=\frac{3}{1}\Rightarrow {{S}_{AKN}}=3{{S}_{CKN}}$
Tương tự, ta có: ${{S}_{AMN}}=3{{S}_{CMN}}$
Vậy:
$\begin{align}
& {{S}_{AKN}}-{{S}_{AMN}}=3\times ({{S}_{CKN}}-{{S}_{CMN}}) \\
& {{S}_{AKM}}=3\times {{S}_{CKM}}\Rightarrow {{S}_{CKM}}=\frac{1}{3}{{S}_{AKM}} \\
\end{align}$
$\Delta $BKM và $\Delta $CKM có chung đường cao hạ từ K, nên:
$\frac{{{S}_{BKM}}}{{{S}_{CKM}}}=\frac{BM}{CM}=\frac{1}{2}\Rightarrow {{S}_{BKM}}=\frac{1}{2}{{S}_{CKM}}$
Vậy: ${{S}_{BKM}}=\frac{1}{2}{{S}_{CKM}}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}{{S}_{AKM}}=\frac{1}{6}{{S}_{AKM}}$
Mà hai tam giác này chung đường cao hạ từ M nên KB = $\frac{1}{6}KA$