a. Ta có: $A=\frac{2n+1}{n-3}+\frac{3n-5}{n-3}-\frac{4n-5}{n-3}=\frac{2n+1+3n-5-4n+5}{n-3}=\frac{n+1}{n-3}$
Để A nhận giá trị nguyên thì $n+1\vdots n-3$
Khi đó: $\left\{ \begin{align}
& n+1\vdots n-3 \\
& n-3\vdots n-3 \\
\end{align} \right.\Rightarrow \left( n+1 \right)-\left( n-3 \right)\vdots \left( n-3 \right)\Rightarrow 4\vdots \left( n-3 \right)$
$\Rightarrow n-3\in $Ư(4) =$\left\{ \pm 1;\pm 2;\pm 4 \right\}$
Ta có bảng:
n–3 -1 1 -2 2 -4 4
n 2 4 1 5 -1 7
Vậy $n\in \left\{ 2;4;1;5;-1;7 \right\}$ thì A nhận giá trị nguyên
b) Ta có $\frac{n+1}{n-3}=1+\frac{4}{n-3}$
Để phân số $\frac{n+1}{n-3}$ là phân số tối giản thì phân số $\frac{4}{n-3}$ là phân số tối giản
Muốn vậy 4 và n – 3 phải là hai số nguyên tố cùng nhau.
Vì 4 có hai ước khác 1 là 2 và 4. Từ đó suy ra n – 3 không chia hết cho 2,không chia hết cho 4
Tức $n-3\ne 2k;n-3\ne 4k$ hay $n\ne 2k+3;n\ne 4k+2\left( k\in \mathbb{N};k\ne 0 \right)$