a) $\left( {{x}^{2}}-13 \right)\left( {{x}^{2}}-17 \right) < 0$
Trường hợp 1: $\left\{ \begin{align}
& {{x}^{2}}-13 > 0 \\
& {{x}^{2}}-17 < 0 \\
\end{align} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& {{x}^{2}} > 13 \\
& {{x}^{2}} < 17 \\
\end{align} \right.$$\Rightarrow 13 < {{x}^{2}} < 17$
$\Rightarrow {{x}^{2}}=16$ (vì x là số nguyên)
$\Rightarrow x=\pm 4$
Trường hợp 2: $\left\{ \begin{align}
& {{x}^{2}}-13 < 0 \\
& {{x}^{2}}-17 > 0 \\
\end{align} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& {{x}^{2}} < 13 \\
& {{x}^{2}} > 17 \\
\end{align} \right.$ (loại)

b) $\left( x-2 \right)\left( 7-x \right) > 0$
Trường hợp 1: $\left\{ \begin{align}
& x-2 > 0 \\
& 7-x > 0 \\
\end{align} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& x > 2 \\
& x < 7 \\
\end{align} \right.$$\Rightarrow 2 < x < 7$
Vì x là số nguyên nên $x\in \left\{ 3;4;5;6 \right\}$
Trường hợp 2: $\left\{ \begin{align}
& x-2 < 0 \\
& 7-x < 0 \\
\end{align} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& x < 2 \\
& x > 7 \\
\end{align} \right.$ (loại)
Vậy có 4 giá trị x nguyên thỏa mãn $\left( x-2 \right)\left( 7-x \right) > 0$
c) $\left( x+3 \right)\left( x-2 \right) < 0$
Trường hợp 1: $\left\{ \begin{align}
& x+3 > 0 \\
& x-2 < 0 \\
\end{align} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& x > -3 \\
& x < 2 \\
\end{align} \right.$$\Rightarrow -3 < x < 2$
Vì x là số nguyên nên $x\in \left\{ -2;-1;0;1 \right\}$
Trường hợp 2: $\left\{ \begin{align}
& x+3 < 0 \\
& x-2 > 0 \\
\end{align} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& x < -3 \\
& x > 2 \\
\end{align} \right.$ (loại)
Vậy có 4 giá trị x nguyên thỏa mãn $\left( x+3 \right)\left( x-2 \right) < 0$

Chú ý: A.B > 0 khi A và B cùng dấu. Tức A > 0 và B > 0 hoặc A < 0 và B < 0
A.B < 0 khi A và B trái dấu. Tức A > 0 và B < 0 hoặc A < 0 và B > 0