a) Xét $\Delta OHA$ vuông tại H và $\Delta OKB$ vuông tại K có:
OA = OB (gt)
$\widehat{xOy}$ chung
$\Rightarrow \Delta OHA=\Delta OKB$(cạnh huyền – góc nhọn)
b) Vì $\Delta OHA=\Delta OKB$(cmt)$\Rightarrow OH=OK$ (2 cạnh tương ứng)
$\Rightarrow \Delta OHK$cân tại O.
c) Ta có:
$OA=OK+AK$
$OB=OH+BH$
Mà $OH=OK,OA=OB$$\Rightarrow AK=BH.$
d) Vì $\Delta OHA=\Delta OKB$(cmt)$\Rightarrow \widehat{OAH}=\widehat{OBK}$ (2 góc tương ứng)
Xét $\Delta KIA$ vuông tại K và $\Delta HIB$ vuông tại H có:
AK = BH (cmt)
$\widehat{OAH}=\widehat{OBK}$(cmt)
$\Rightarrow \Delta KIA=\Delta HIB$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)
$\Rightarrow IA=IB$(2 cạnh tương ứng)
e) ) Vì $\Delta OHA=\Delta OKB$(cmt)$\Rightarrow AH=BK$ (2 cạnh tương ứng)
mà $AH=AI+IH$; $BK=IB+IK$; IA = IB $\Rightarrow IH=IK$
Xét $\Delta OKI$và $\Delta AHI$có:
OI chung
AO = OB (gt)
IK = IH (cmt)
$\Rightarrow \Delta OKI=\Delta OHI$(c.c.c)
$\Rightarrow \widehat{AOI}=\widehat{BOI}$ (2 góc tương ứng)
$\Rightarrow $OI là phân giác của góc $\widehat{xOy}$.