a) Xét ∆AMB và ∆DMC có
AM = MD (giả thiết)
$\widehat{AMB}=\widehat{DMC}$ (hai góc đối đỉnh)
MB = MC (vì M là trung điểm BC)
Suy ra ∆AMB = ∆DMC (c.g.c)
b) Theo câu a ta có: ∆AMB = ∆DMC nên $\widehat{ABM}=\widehat{DCM}$ (hai góc tương ứng), $AB=DC$ (hai cạnh tương ứng)
Xét ∆AHB vuông tại H và ∆DKC vuông tại K có:
$\widehat{ABH}=\widehat{DCK}$ (chứng minh trên)
AB = DC (chứng minh trên)
Suy ra ∆AHB = ∆DKC (cạnh huyền – góc nhọn)
c) Xét ∆MHA vuông tại H và ∆MHE vuông tại H có:
MH chung
HA = HE (giả thiết)
Suy ra ∆MHA = ∆MHE (hai cạnh góc vuông)
$\Rightarrow \widehat{AMH}=\widehat{EMH}$ (hai góc tương ứng), MA = ME (hai cạnh tương ứng)
Ta có: $\widehat{AMH}=\widehat{EMH}$, $\widehat{AMH}=\widehat{DMK}$ nên $\widehat{EMH}=\widehat{DMK}$
Mặt khác: $\widehat{HME}+\widehat{EMD}+\widehat{DMK}=180{}^\circ \Rightarrow 2\widehat{HME}+\widehat{EMD}=180{}^\circ $
$\Rightarrow \widehat{HME}=\frac{180{}^\circ -\widehat{EMD}}{2}$ (1)
Xét ∆MED có ME = MD (=MA) nên ∆MED cân tại M
$\Rightarrow \widehat{MED}=\frac{180{}^\circ -\widehat{EMD}}{2}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{HME}=\widehat{MED}$
Mà hai góc ở vị trí so le trong nên DE // BC