Giả sử f(x) có nghiệm nguyên x = a ($a\in \mathbb{Z}$)
Khi đó $f\left( x \right)=\left( x-a \right).g\left( x \right)$
Ta có $f\left( 1 \right)=\left( x-1 \right).g\left( 1 \right)$
$f\left( 2 \right)=\left( x-2 \right).g\left( 2 \right)$
$\Rightarrow f\left( 1 \right).f\left( 2 \right)=\left( x-1 \right).\left( x-2 \right).g\left( 1 \right).g\left( 2 \right)$
Ta thấy $f\left( 1 \right)$, $f\left( 2 \right)$ là các số lẻ nên $f\left( 1 \right).f\left( 2 \right)$ là số lẻ$\Rightarrow f\left( 1 \right)f\left( 2 \right)\cancel{\vdots }2$
Mà $\left( x-1 \right).\left( x-2 \right)$ là tích hai số liên tiếp nên $\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\vdots 2$$\Rightarrow \left( x-1 \right)\left( x-2 \right)g\left( 1 \right)g\left( 2 \right)\vdots 2$
Vì vậy $f\left( 1 \right).f\left( 2 \right)=\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)g\left( 1 \right)g\left( 2 \right)$ vô lý
Vậy f(x) không có nghiệm nguyên