a) Xét ∆OBE vuông tại E và ∆OCF vuông tại F có:
OB = OC (vì O là trung điểm BC)
$\widehat{EOB}=\widehat{FOC}$ (vì hai góc đối đỉnh)
Suy ra ∆OBE = ∆OCF (cạnh huyền – góc nhọn)
$\Rightarrow $ OE = OF (vì hai cạnh tương ứng)
b) Xét ∆OBF và ∆OCE có:
OB = OC (vì O là trung điểm BC)
$\widehat{BOF}=\widehat{COE}$ (vì hai góc đối đỉnh)
OF = OE (chứng minh trên)
Suy ra ∆OBF = ∆OCE (c.g.c) $\Rightarrow \widehat{OEC}=\widehat{OFB}$ (hai góc tương ứng)
Mà hai góc ở vị trí so le trong nên BF // CE
c) Vì BF // CE (chứng minh trên) nên $\widehat{MBO}=\widehat{NCO}$(vì hai góc so le trong)
Xét ∆OMB và ∆ONC có:
OB = OC (vì O là trung điểm BC)
$\widehat{MBO}=\widehat{NCO}$(chứng minh trên)
BM = CN (giả thiết)
Suy ra ∆OMB = ∆ONC (c.g.c) $\Rightarrow \widehat{MOB}=\widehat{NOC}$ (hai góc tương ứng)
Mà $\widehat{MOB}+\widehat{MOC}=180{}^\circ $ (vì hai góc kề bù) $\Rightarrow \widehat{NOC}+\widehat{MOC}=180{}^\circ $
Hay $\widehat{MON}=180{}^\circ $ $\Rightarrow $ M, O, N thẳng hàng
Mà ∆OMB = ∆ONC (chứng minh trên) $\Rightarrow $ OM = ON (hai cạnh tương ứng)
Vì M, O, N thẳng hàng và OM = ON nên O là trung điểm MN.