a) Xét ∆AMN và ∆CDN có:
AN = CN (vì N là trung điểm AC)
$\widehat{ANM}=\widehat{CND}$ (vì hai góc đối đỉnh)
MN = DN (giả thiết)
Suy ra ∆AMN = ∆CDN (c.g.c) $\Rightarrow $AM = CD (vì hai cạnh tương tứng)
Mà AM = MB (vì M là trung điểm AB) nên MC = CD
b) Theo câu a có ∆AMN = ∆CDN $\Rightarrow \widehat{NAM}=\widehat{NCD}$ (vì hai góc tương ứng)
Mà hai góc ở vị trí so le trong nên AB // CD
$\Rightarrow \widehat{BMC}=\widehat{MCD}$ (vì hai góc ở vị trí so le trong)
Xét ∆BMC và ∆DCM có:
MC chung
$\widehat{BMC}=\widehat{DCM}$ (chứng minh trên)
BM = DC (chứng minh trên)
Suy ra ∆BMC = ∆DCM (c.g.c) $\Rightarrow \widehat{BCM}=\widehat{DMC}$ (vì hai góc tương ứng)
Mà hai góc ở vị trí so le trong nên MN // BC
Vì ∆BMC = ∆DCM (chứng minh trên) $\Rightarrow $ MD = BC (hai cạnh tương ứng)
Mà $MN=\frac{1}{2}MD$ nên $MN=\frac{1}{2}BC$
c) Gọi I là giao điểm của BD và MC
Xét ∆IMB và ∆ICD có:
$\widehat{IMB}=\widehat{ICD}$ (chứng minh trên)
MB = DC (chứng minh trên)
$\widehat{IBM}=\widehat{IDC}$ (vì AB // CD, hai góc ở vị trí so le trong)
Suy ra ∆IMB = ∆ICD (g.c.g) $\Rightarrow $IM = IC (hai cạnh tương ứng)
$\Rightarrow $ I là trung điểm MC