Vì $x:y:z=a:b:c\Rightarrow \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{x+y+z}{a+b+c}=x+y+z$
$\Rightarrow {{\left( \frac{x}{a} \right)}^{2}}={{\left( x+y+z \right)}^{2}}$$\Rightarrow \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}={{\left( x+y+z \right)}^{2}}$ (1)
Mặt khác: $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\Rightarrow \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}=\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=\frac{{{z}^{2}}}{{{c}^{2}}}$
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
$\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}=\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=\frac{{{z}^{2}}}{{{c}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra ${{\left( x+y+z \right)}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}$