a) Xét tứ giác AEMP có:
$\widehat{EAP}=90{}^\circ$ (vì ∆ABC vuông tại A)
$\widehat{AEM}=90{}^\circ$ (vì $ME\bot AC$)
$\widehat{APM}=90{}^\circ$ (vì $MP\bot AB$)
$\Rightarrow$Tứ giác AEMP là hình vuông
b) Xét ∆ABC có:
M là trung điểm BC
$MP//AC\left( MP\bot AB \right)$
$\Rightarrow$ P là trung điểm AB $\Rightarrow AP=\frac{1}{2}AB$ (1)
Xét ∆ABC có:
M là trung điểm BC
$ME//AB\left( ME\bot AC \right)$
$\Rightarrow$ E là trung điểm AC $\Rightarrow AE=\frac{1}{2}AC$ (2)
Để AEMP là hình vuông thì AE = AP (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra AC = AB $\Rightarrow$∆ABC cân vuông tại A
c) Ta có $AP=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}.8=4\left( cm \right)$
$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}.6=3\left( cm \right)$
Vì AEMP là hình chữ nhật nên MP = AE = 3cm
Áp dụng định lý Pitago cho ∆APM vuông tại P có:
$A{{M}^{2}}=A{{P}^{2}}+P{{M}^{2}}={{4}^{2}}+{{3}^{2}}=25\Rightarrow AM=5$(cm)