Ta có: ${{y}^{2}} \ge 0\Rightarrow -{{y}^{2}} \le 0\Rightarrow 25-{{y}^{2}} \le 25$
Khi đó: $8{{\left( x-2015 \right)}^{2}} \le 25\Rightarrow {{\left( x-2015 \right)}^{2}} \le \frac{25}{8}$
Mà ${{\left( x-2015 \right)}^{2}} \ge 0$ nên $0 \le {{\left( x-2015 \right)}^{2}} \le \frac{25}{8}$
Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $\left( x-2015 \right)\in \mathbb{Z}$
Khi đó ${{\left( x-2015 \right)}^{2}}=0$ hoặc ${{\left( x-2015 \right)}^{2}}=1$
Trường hợp 1: ${{\left( x-2015 \right)}^{2}}=0\Rightarrow x-2015=0\Rightarrow x=2015$
Khi đó $25-{{y}^{2}}=0\Rightarrow {{y}^{2}}=25\Rightarrow y=\pm 5$
Trường hợp 2: ${{\left( x-2015 \right)}^{2}}=1\Rightarrow x-2015=\pm 1\Rightarrow \left[ \begin{align}
& x=2016 \\
& x=2014 \\
\end{align} \right.$
Khi đó: $25-{{y}^{2}}=1\Rightarrow {{y}^{2}}=24$. Không tìm được $y\in \mathbb{Z}$ thỏa mãn
Vậy $\left( x;y \right)\in \left\{ \left( 2015;5 \right);\left( 2015;-5 \right) \right\}$