1. Chứng minh:
${{1}^{1}}+{{2}^{2}}+{{3}^{3}}+...+{{n}^{n}} < {{\left( n+1 \right)}^{n+1}}$ (1)
+ Với n = 1, thay vào (1) thoả mãn
+ Giả sử (1) đúng với n = k:
${{1}^{1}}+{{2}^{2}}+{{3}^{3}}+...+{{k}^{k}} < {{\left( k+1 \right)}^{k+1}}$
Ta cũng chứng minh (1) cũng đúng với n = k + 1:
\[{{1}^{1}}+{{2}^{2}}+{{3}^{3}}+...+{{\left( k+1 \right)}^{k+1}} < {{\left( k+2 \right)}^{k+2}}\]
Ta có:
${{1}^{1}}+{{2}^{2}}+{{3}^{3}}+...+{{k}^{k}}+{{\left( k+1 \right)}^{k+1}} < 2{{\left( k+1 \right)}^{k+1}} < \left( k+2 \right){{\left( k+2 \right)}^{k+1}}={{\left( k+2 \right)}^{k+2}}$
Suy ra đpcm
2. Áp dụng điều vừa chứng minh cho bài toán
Ta có:
${{1}^{1}}+{{2}^{2}}+{{3}^{3}}+...+{{99}^{99}} < {{100}^{100}}$
$\Leftrightarrow {{1}^{1}}+{{2}^{2}}+{{3}^{3}}+...+{{99}^{99}}+{{100}^{100}} < {{2.100}^{100}}$
$\Rightarrow M < {{2.100}^{100}} = {{2.10}^{200}}$
$\Rightarrow$${{10}^{200}}$có 200 chữ số 0 và 1 chữ số 1
$\Rightarrow$M có 201 chữ số
Vì $M < {{2.100}^{100}}(cmt)$
$\Rightarrow$Số hạng đầu tiên là 1
Mà ${{1}^{1}}+{{2}^{2}}+{{3}^{3}}+...+{{99}^{99}} < {{100}^{99}}$
$\Rightarrow M < {{100}^{99}}+{{100}^{100}}$
$\Rightarrow$Số hạng thứ 2 là 0
Suy ra tổng hai số hạng đầu của M là $1+0=1$