a) Xét ∆AIN và ∆CMN có :
AN = NC (vì N là trung điểm AC)
$\widehat{ANI}=\widehat{CNM}$ (hai góc đối đỉnh)
MN = NI (giả thiết)
Suy ra ∆AIN = ∆CMN (c.g.c)
b) Vì ∆AIN = ∆CMN (cmt)
$\Rightarrow AI=MC$ (cặp cạnh tương ứng bằng nhau)
$\widehat{IAN}=\widehat{NCM}$ (cặp góc tương ứng bằng nhau)
Mà $\widehat{IAN},\,\,\widehat{NCM}$ là hai góc ở vị trí tro le trong của AI và MC
Suy ra AI / / MC
c) Xét ∆AIM và ∆MCB có :
AI = MC (cmt)
$\widehat{IAM}=\widehat{CMB}$ (hai góc đồng vị của AI / / MC)
AM = MB (vì M là trung điểm AB)
Suy ra ∆AIM = ∆MCB (c.g.c)
$\Rightarrow \widehat{AIM}=\widehat{MCB}$ (cặp cạnh tương ứng bằng nhau)
Mà $\widehat{AIM}=\widehat{NMC}$ (cặp góc so le trong của AI / / MC)
$\Rightarrow \widehat{NMC}=\widehat{MCB}$
Mà hai góc này ở vị trí so le trong của MN và BC
Suy ra MN / / BC
d) Xét ∆AEN và ∆CFN có :
AE = CF (giả thiết)
$\widehat{EAN}=\widehat{NCF}$ (cm câu b)
AN = NC
Suy ra ∆AEN = ∆CFN (c.g.c)
$\Rightarrow \widehat{AN\text{E}}=\widehat{CNF}$ (cặp góc tương ứng bằng nhau)
Ta có : $\widehat{AN\text{E}}+\widehat{ENC}={{180}^{o}}$
$\Rightarrow \widehat{CNF}+\widehat{ENC}={{180}^{o}}$
Suy ra E, N, F thẳng hàng