Xét ∆ABC và ∆ADE có:
AB = AD (giả thiết)
$\widehat{BAC}=\widehat{DAE}$ (hai góc đối đỉnh)
AC = AE (giả thiết)
Suy ra ∆ABC = ∆ADE (c.g.c) $\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{ADE}$ (hai góc tương ứng), BC = DE (hai góc tương ứng)
Vì M là trung điểm DE nên $MD=ME=\frac{1}{2}DE$
Vì N là trung điểm BC nên $NB=NC=\frac{1}{2}BC$
Mà BC = DE (chứng minh trên) nên $ME=MD=NB=NC$
Xét ∆ABN và ∆ADM có:
AB = AD (giả thiết)
$\widehat{ABN}=\widehat{ADM}$ (chứng minh trên)
BN = DM (chứng minh trên)
Suy ra ∆ABN = ∆ADM (c.g.c) $\Rightarrow \widehat{BAN}=\widehat{DAM}$
Mà $\widehat{DAM}+\widehat{MAB}=180{}^\circ$ (vì hai góc kề bù)
Nên $\widehat{MAB}+\widehat{BAN}=180{}^\circ$ hay $\widehat{MAN}=180{}^\circ$
$\Rightarrow$ M, A, N thẳng hàng.