Giả sử $\sqrt{a}$ là số hữu tỉ
Đặt $\sqrt{a}=\frac{p}{q}$ ($p,q\in \mathbb{N}$, $q\ne 0$, (p,q) =1)
Khi đó $a=\frac{{{p}^{2}}}{{{q}^{2}}}\Rightarrow a.{{q}^{2}}={{p}^{2}}$
Vì ${{p}^{2}}$ là số chính phương nên $a.{{q}^{2}}$ viết được dưới dạng tích của các số với lũy thừa bằng 2
Mà p; q nguyên tố cùng nhau nên a được viết dưới dạng lũy thừa bằng 2
$\Rightarrow $ a là số chính phương (trái với giả thiết)
$\Rightarrow $ Điều giả sử là sai
Vậy $\sqrt{a}$ là số vô tỉ