a) Xét ∆AOD và ∆COB có:
OA = OC (vì O là trung điểm AC)
$\widehat{AOD}=\widehat{COB}$
OD = OB (giả thiết)
Suy ra ∆AOD = ∆COB (c.g.c)
b) Theo câu a ta có ∆AOD = ∆COB $\Rightarrow \widehat{ADO}=\widehat{CBO}$ (hai góc tương ứng)
Mà hai góc ở vị trí so le trong nên AD // BC
c) Vì AD // BC mà $OH\bot BC$ nên $OH\bot AD$ (tính chất từ vuông góc đến song song)
d) Xét ∆OAB và ∆OCD có:
OA = OC (vì O là trung điểm AC)
$\widehat{AOB}=\widehat{COD}$ (hai góc đối đỉnh)
OB = OD (giả thiết)
Suy ra ∆OAB = ∆OCD (c.g.c) $\Rightarrow \widehat{ABO}=\widehat{CDO}$ (hai góc tương ứng)
Xét ∆OBM và ∆ODN có:
OB = OD (giả thiết)
$\widehat{ABO}=\widehat{CDO}$ (chứng minh trên)
BM = DN (giả thiết)
Suy ra ∆OBM = ∆ODN (c.g.c) $\Rightarrow \widehat{MOB}=\widehat{NOD}$(hai góc tương ứng), OM = ON (hai cạnh tương ứng)
Ta có: $\widehat{MOB}+\widehat{MOD}=180{}^\circ $ (hai góc kề bù)
$\Rightarrow \widehat{NOD}+\widehat{MOD}=180{}^\circ $ (vì $\widehat{MOB}=\widehat{NOD}$)
Hay $\widehat{MON}=180{}^\circ $ $\Rightarrow $ M, O, N thẳng hàng
Mà MO = NO (chứng minh trên) nên O là trung điểm MN.