a) Xét ∆ABC có AB = AC $\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{ACB}$
Mà ∆ABC vuông tại A nên $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90{}^\circ$
Khi đó $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{90{}^\circ }{2}=45{}^\circ$
b) Vì M là trung điểm AB nên $AM=MB=\frac{AB}{2}$
Vì N là trung điểm của AC nên $AN=NC=\frac{AC}{2}$
Mặt khác AB = AC (giả thiết) nên $AM=MB=AN=NC$
Xét ∆ABN và ∆ACM có:
AB = AC (giả thiết)
$\widehat{BAC}$ chung
AN = AM (chứng minh trên)
Suy ra ∆ABN = ∆ACM (c.g.c) $\Rightarrow$ BN = CM
c) Trên tia MN lấy điểm P sao cho MN = NP
Xét ∆ANM và ∆CNP có:
AN = CN (vì N là trung điểm AC)
$\widehat{ANM}=\widehat{CNP}$ (hai góc đối đỉnh)
NM = NP
Suy ra ∆ANM = ∆CNP (c.g.c) $\Rightarrow \widehat{MAN}=\widehat{PCN}$ (hai góc tương ứng), AM = CP (hai cạnh tương ứng)
Vì $\widehat{MAN}=\widehat{PCN}$mà hai góc ở vị trí so le trong nên CP // AB
$\Rightarrow \widehat{BMC}=\widehat{PCM}$ (vì hai góc ở vị trí so le trong)
Vì CP = AM mà AM = MB nên CP = MB
Xét ∆BMC và ∆PCM có:
BM = CP (chứng minh trên)
$\widehat{BMC}=\widehat{PCM}$ (chứng minh trên)
CM chung
Suy ra ∆BMC = ∆PCM (c.g.c) $\Rightarrow \widehat{MCB}=\widehat{CMP}$ (hai góc tương ứng)
Mà hai góc ở vị trí so le trong nên MN // BC
d) Theo câu c có ∆BMC = ∆PCM $\Rightarrow$ BC = MP
Mà theo cách vẽ P ta có MP = 2MN
Suy ra BC = 2MN