a) Xét ∆AMB và ∆AMC có:
AB = AC (giả thiết)
AM chung
MB = MC (vì M là trung điểm cạnh BC)
Suy ra ∆AMB = ∆AMC (c.c.c)
$\Rightarrow \widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ (hai góc tương ứng)
Mà $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180{}^\circ $ (hai góc kề bù) nên $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\frac{180{}^\circ }{2}=90{}^\circ $
$\Rightarrow AM\bot BC$
b) Xét ∆ADF và ∆CDE có:
DA = DC (vì D là trung điểm AC)
$\widehat{ADF}=\widehat{CDE}$ (hai góc đối đỉnh)
DF = DE (giả thiết)
Suy ra ∆ADF = ∆CDE (c.g.c)
$\Rightarrow \widehat{DAF}=\widehat{DCE}$ (hai góc tương ứng)
Mà hai góc ở vị trí so le trong nên AF // CE
c) Gọi I là giao điểm của AE và BD
Xét ∆AIB vuông tại I có $\widehat{IAB}+\widehat{IBA}=90{}^\circ $ (1)
Xét ∆ABD vuông tại A nên $\widehat{DAI}+\widehat{IAB}=90{}^\circ $ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{IBA}=\widehat{DAI}$
Xét ∆BAD và ∆ACG có:
$\widehat{BAD}=\widehat{ACG}\left( =90{}^\circ \right)$
AB = AC (giả thiết)
$\widehat{DBA}=\widehat{GAC}$ (chứng minh trên)
Suy ra ∆BAD = ∆ACG (g.c.g)
d) Theo câu c có ∆BAD = ∆ACG $\Rightarrow CG=AD$
Mà $AD=\frac{1}{2}AC$, AC = AB nên $CG=\frac{1}{2}AB\Rightarrow AB=2CG$

Bài 5
Ta có: $\frac{a+b}{3}=\frac{b+c}{4}\Rightarrow 4\left( a+b \right)=3\left( b+c \right)\Rightarrow 4a+4b=3b+3c\Rightarrow 4a+b=3c$ (1)
$\frac{b+c}{4}=\frac{c+a}{5}\Rightarrow 5\left( b+c \right)=4\left( c+a \right)\Rightarrow 5b+5c=4c+4a\Rightarrow 5b+c=4a$ (2)
$\frac{c+a}{5}=\frac{a+b}{3}\Rightarrow 3\left( c+a \right)=5\left( a+b \right)\Rightarrow 3c+3a=5a+5b\Rightarrow 3c=2a+5b$ (3)
Thay (2) vào (1) ta được $5b+c+b=3c\Rightarrow 2c=6b\Rightarrow c=3b$
Thay (3) vào (1) ta được $4a+b=2a+5b\Rightarrow 2a=4b\Rightarrow a=2b$
Khi đó $M=10a+b-7c+2017=10.2b+b-7.3b+2017=20b+b-21b+2017=2017$