a) Xét ∆MHB và ∆MKC có:
MB = MC (vì M là trung điểm BC)
$\widehat{BMH}=\widehat{CMK}$ (hai góc đối đỉnh)
MH = MK (vì M là trung điểm của HK)
Suy ra ∆MHB = ∆MKC (c.g.c)
b) Theo câu a có ∆MHB = ∆MKC $\Rightarrow \widehat{BHK}=\widehat{HKC}$ (hai góc tương ứng)
Mà hai góc ở vị trí so le trong nne BH // KC
Mà $BH\bot HC$nên $KC\bot HC$
Vì ∆MHB = ∆MKC (chứng minh trên) nên BH = KC (hai cạnh tương ứng)
Mà BH = HI (giả thiết) nên HI = KC
Xét ∆KCH vuông tại C và ∆IHC vuông tại H có:
HI = KC (chứng minh trên)
HC chung
Suy ra ∆KCH = ∆IHC (hai cạnh góc vuông)
$\Rightarrow \widehat{CKH}=\widehat{HIC}$ (hai góc tương ứng)
Mà $\widehat{BHK}=\widehat{HKC}$ (chứng minh trên) suy ra $\widehat{BHK}=\widehat{HIC}$
Mà hai góc ở vị trí đồng vị nên HK // CI
c) Xét ∆CHB vuông tại H và ∆CHI vuông tại H có:
HC chung
HB = HI (giả thiết)
Suy ra ∆CHB = ∆CHI (hai cạnh góc vuông)
$$\Rightarrow \widehat{HBC}=\widehat{HIC}$$ (hai góc tương ứng)
Xét ∆ABC có AB = AC $\Rightarrow$ ∆ABC cân tại A $\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{ACB}$
Xét ∆BHC vuông tại H có $\widehat{HBC}+\widehat{HCB}=90{}^\circ \Rightarrow \widehat{HBC}=90{}^\circ -\widehat{HCB}\Rightarrow \widehat{BIC}=90{}^\circ -\widehat{HCB}$
$\Rightarrow 2\widehat{BIC}=180{}^\circ -2\widehat{ACB}=180-\widehat{ACB}-\widehat{ABC}=\widehat{BAC}$