a) Xét ∆AMB và ∆BMC có:
MA = MD (giả thiết)
$\widehat{AMB}=\widehat{DMC}$ (hai góc đối đỉnh)
MB = MC (vì M là trung điểm BC)
Suy ra ∆AMB = ∆BMC (c.g.c) $\Rightarrow $AB = CD (hai cạnh tương ứng), $\widehat{MAB}=\widehat{MDC}$(hai góc tương ứng)
Vì $\widehat{MAB}=\widehat{MDC}$ mà hai góc ở vị trí so le trong nên AB // CD
b) Xét ∆MBD và ∆MCA có:
MB = MC (vì M là trung điểm BC)
$\widehat{BMD}=\widehat{CMA}$ (hai góc đối đỉnh)
MD = MA (giả thiết)
Suy ra ∆MBD = ∆MCA (c.g.c) $\Rightarrow $BD = AC (hai cạnh tương ứng), $\widehat{MBD}=\widehat{MCA}$ (hai góc tương ứng),
Vì $\widehat{MBD}=\widehat{MCA}$ mà hai góc ở vị trí so le trong nên BD // AC
c) Xét ∆ABC và ∆DCB có:
AB = DC (chứng minh trên)
BC chung
AC = BD (chứng minh trên)
Suy ra ∆ABC = ∆DCB (c.c.c)
d) Xét ∆AME và ∆DMF có:
MA = MD (giả thiết)
$\widehat{MAE}=\widehat{MDF}$ (chứng minh trên)
AE = DF (giả thiết)
Suy ra ∆AME = ∆DMF (c.g.c)
$\Rightarrow \widehat{AME}=\widehat{DMF}$ (hai góc tương ứng)
Mà $\widehat{AME}+\widehat{EMD}=180{}^\circ $(vì hai góc kề bù) nên $\widehat{FMD}+\widehat{EMD}=180{}^\circ $ hay $\widehat{EMF}=180{}^\circ $
Vậy E, M, F thẳng hàng.