a) Xét tứ giác AHBD có:
M là trung điểm AB
M là trung điểm HD (vì D đối xứng với H qua M)
$\Rightarrow $ AHBD là hình bình hành
Xét hình bình hành AHBD có $\widehat{AHB}=90{}^\circ $
$\Rightarrow $ AHBD là hình chữ nhật
b) Xét ∆ABC cân tại A có đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến
$\Rightarrow $ H là trung điểm BC
Xét ∆ABC có: H là trung điểm BC, N là trung điểm AC
$\Rightarrow $ HN là đường trung bình ∆ABC $\Rightarrow $$HN//=\frac{1}{2}AB$
Mà $AM=\frac{1}{2}AB$ (vì M là trung điểm AB) nên $HN//=AM$
Xét tứ giác AMHN có $HN//=AM$ $\Rightarrow $ AMHN hình bình hành
Xét ∆AHC vuông tại H, đường trung tuyến HN có HN = AN = NC
Xét hình bình hành AMHN có HN = AM nên AMHN là hình thoi
c) Vì AHBD là hình chữ nhật nên AD // = BH
Mà BH = HC (vì H là trung điểm BC) nên AD // = HC
Xét tứ giác ADHC có AD // = HC nên ADHC là hình bình hành
Mà O là trung điểm AH nên O là trung điểm DC
$\Rightarrow $ D, O, C thẳng hàng