a) Xét ∆ADB và ∆ADE có:
AD chung
$\widehat{BAD}=\widehat{EAD}$ (vì AD là phân giác của $\widehat{BAE}$)
AB = AE (giả thiết)
Suy ra ∆ADB = ∆ADE (c.g.c) $\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{AED}$(hai góc tương ứng)
Mà $\widehat{ABD}=90{}^\circ $ nên $\widehat{AED}=90{}^\circ $ $\Rightarrow DE\bot AC$
b) Theo câu a ta có ∆ADB = ∆ADE $\Rightarrow $ BD = ED (hai cạnh tương ứng)
Xét ∆BDF và ∆EDC có:
$\widehat{DBF}=\widehat{DEC}\left( =90{}^\circ \right)$
BD = DE (chứng minh trên)
$\widehat{BDF}=\widehat{EDC}$ (hai góc đối đỉnh)
Suy ra ∆BDF = ∆EDC (g.c.g) $\Rightarrow $FD = DC (hai cạnh tương ứng)
c) Gọi H là giao điểm của AD và BE
Xét ∆AHB và ∆AHE có:
AB = AE
$\widehat{BAH}=\widehat{EAH}$
AH chung
Suy ra ∆AHB = ∆AHE (c.g.c) $\Rightarrow \widehat{AHB}=\widehat{AHE}$ (hai góc tương ứng), BH = HE (hai cạnh tương ứng)
Vì $\widehat{AHB}=\widehat{AHE}$ mà $\widehat{AHB}+\widehat{AHE}=180{}^\circ $ (hai góc kề bù)
Nên $\widehat{AHB}=\widehat{AHE}=\frac{180{}^\circ }{2}=90{}^\circ $$\Rightarrow AD\bot BE$
Ta có: $AD\bot BE$, H là trung điểm BE (vì BH = HE)
$\Rightarrow $ AD là đường trung trực của BE
d) Vì ∆DBF = ∆DEC (chứng minh trên) nên BF = EC (hai cạnh tương ứng)
Mà AB = AE (giả thiết) nên AB + BF = AE + EC $\Rightarrow $ AF = AC
Gọi giao điểm của AD và FC là M’
Xét ∆AM’F và ∆AM’C có:
AM chung
$\widehat{FAM'}=\widehat{CAM'}$
AF = AC (chứng minh trên)
Suy ra ∆AM’F = ∆AM’C (c.g.c) $\Rightarrow $FM’ = M’C (hai cạnh tương ứng)
$\Rightarrow $M’ là trung điểm của FC
Mà M là trung điểm của FC nên $M'\equiv M$
Vậy A, D, M thẳng hàng