a) Xét ∆ABI và ∆ADI có:
AI chung
$\widehat{BAI}=\widehat{DAI}$ (vì AI là phân giác của $\widehat{BAC}$)
AB = AD (giả thiết)
Suy ra ∆ABI = ∆ADI (c.g.c) $\Rightarrow $ BI = DI (hai cạnh tương ứng)
b) Vì ∆ABI = ∆ADI (theo câu a) nên $\widehat{ABI}=\widehat{ADI}$ (hai góc tương ứng)
Mà $\widehat{ABI}+\widehat{IBE}=180{}^\circ $(hai góc kề bù), $\widehat{ADI}+\widehat{CDI}=180{}^\circ $ (hai góc kề bù)
Nên $\widehat{IBE}=\widehat{IDC}$
Xét ∆IBE và ∆IDC có:
$\widehat{IBE}=\widehat{IDC}$ (chứng minh trên)
IB = ID (chứng minh trên)
$\widehat{BIE}=\widehat{DIC}$ (hai góc đối đỉnh)
Suy ra ∆IBE = ∆IDC (g.c.g)
c) Gọi AI giao với BD tại M, AI giao với EC tại N
Xét ∆ABM và ∆ADM có:
AM chung
$\widehat{BAM}=\widehat{DAM}$
AB = AD
Suy ra ∆ABM = ∆ADM (c.g.c) $\Rightarrow \widehat{AMB}=\widehat{AMD}$ (hai góc tương ứng)
Mà $\widehat{AMB}+\widehat{AMD}=180{}^\circ $ nên $\widehat{AMB}=\widehat{AMD}=\frac{180{}^\circ }{2}=90{}^\circ $$\Rightarrow AM\bot BD$ hay $AI\bot BD$ (1)
Ta có: AB = AD, BE = DC (vì ∆IBE = ∆IDC) nên AB + BE = AD + DC $\Rightarrow $ AE = AC
Xét ∆AEN và ∆ACN có:
AN chung
$\widehat{EAN}=\widehat{CAN}$
AE = AC (chứng minh trên)
Suy ra ∆AEN = ∆ACN (c.g.c) $\Rightarrow \widehat{ANE}=\widehat{ANC}$ (hai góc tương ứng)
Mà $\widehat{ANE}+\widehat{ANC}=180{}^\circ $ nên $\widehat{ANE}=\widehat{ANC}=\frac{180{}^\circ }{2}=90{}^\circ \Rightarrow AN\bot EC$ hay $AI\bot CE$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra BD // EC
c) Ta có: $\widehat{DIC}=\widehat{AIC}-\widehat{AID}$
$=\widehat{ABC}+\widehat{BAI}-\widehat{AIB}$(vì $\widehat{AID}=\widehat{AIB}$)
$=2.\widehat{ACB}+\widehat{IAC}-\widehat{AIB}$(vì $\widehat{ABC}=2\widehat{ACB}$
$=\widehat{ACB}+\left( \widehat{ACB}+\widehat{IAC} \right)-\widehat{AIB}$
$=\widehat{ACB}+\widehat{AIB}-\widehat{AIB}$
$=\widehat{ACB}$
Xét ∆DIC có $\widehat{DIC}=\widehat{DCI}$ (chứng minh trên) nên ∆DIC cân tại D $\Rightarrow $ID = DC
Mà ID = IB nên IB = DC
Ta có AC = AD + DC = AB + BI (đpcm)