a) Tứ giác APMQ có: $\widehat{AQM}=\widehat{QAP}=\widehat{APM}=90{}^\circ $
Vậy APMQ là hình chữ nhật.
b)
$\Delta ABC(\widehat{BAC}=90{}^\circ )$ có AM là đường trung tuyến, nên AM = MB = MC = $\frac{1}{2}$ BC (Trong tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng $\frac{1}{2}$ cạnh huyền)
MA = MC $\Rightarrow \Delta $AMC cân tại M
$\Delta $AMC có MQ là đường cao đồng thời là trung tuyến $\Rightarrow $ Q là trung điểm của AC (1)
D đối xứng với M qua Q $\Rightarrow $ Q là trung điểm của MD (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow $AMCD là hình bình hành
Lại có: MD $\bot $ AC $\Rightarrow $ AMCD là hình thoi
c) Hình chữ nhật AMPQ là hình vuông $\Leftrightarrow $ AP = AQ
Q là trung điểm của AC (chứng minh b)
$\Rightarrow $ AQ = QC = $\frac{1}{2}$ AC (*)
MA = MB $\Rightarrow \Delta $AMB cân tại M
$\Delta $AMB có MP là đường cao đồng thời là trung tuyến $\Rightarrow $ P là trung điểm của AB
$\Rightarrow $ AP = PB = $\frac{1}{2}$ AB (**)
Từ (*) và (**) $\Rightarrow $ AP = AQ $\Leftrightarrow $ $\frac{1}{2}$ AC = $\frac{1}{2}$ AB $\Rightarrow $ AC = AB
Vậy để APMQ là hình vuông thì $\Delta $ABC phải là tam giác vuông cân tại A.