a) Chứng minh AFBE là hình thoi
D là trung điểm của AB $\Rightarrow $ DA = DB (1)
F đối xứng với E qua D $\Rightarrow $ DE = DF (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow $ AFBE là hình bình hành (*)
$\Delta $ABC vuông tại A có AE là trung tuyến $\Rightarrow $ AE = EB = $\frac{1}{2}$ BC (**)
(trong tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng $\frac{1}{2}$ cạnh huyền)
Từ (*), (**) $\Rightarrow $ AFBE là hình thoi
b) Chứng minh AFBC là hình bình hành (Đề bài sai, AFBC không thể là hình bình hành (hình vẽ))
Sửa lại: Chứng minh AFEC là hình bình hành
AFBE là hình thoi$\Rightarrow $ AF//EB $\Rightarrow $AF//EC
AFBE là hình thoi $\Rightarrow $AF = EB
Mà EB = EC $\Rightarrow $ AF = EC
Tứ giác AFEC có một cặp cạnh song song và bằng nhau $\Rightarrow $ AFEC là hình bình hành
c) Hình thoi AFBE là hình vuông $\Leftrightarrow $ $\widehat{AEB}=90{}^\circ $
$\widehat{AEB}=90{}^\circ $ $\Rightarrow $ AE $\bot $ EB $\Rightarrow $ AE là đường cao của $\Delta $ABC
Mà AE là trung tuyến của $\Delta $ABC
Khi đó, AE là trung tuyến đồng thời là đường cao của $\Delta $ABC $\Rightarrow $ $\Delta $ABC cân tại A
Vậy để AFBE là hình vuông thì $\Delta $ABC phải là tam giác vuông cân.