a) Chứng minh AFBE là hình thoi
D là trung điểm của AB $\Rightarrow$ DA = DB (1)
F đối xứng với E qua D $\Rightarrow$ DE = DF (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ AFBE là hình bình hành (*)
$\Delta$ABC vuông tại A có AE là trung tuyến $\Rightarrow$ AE = EB = $\frac{1}{2}$ BC (**)
(trong tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng $\frac{1}{2}$ cạnh huyền)
Từ (*), (**) $\Rightarrow$ AFBE là hình thoi
b) Chứng minh AFBC là hình bình hành (Đề bài sai, AFBC không thể là hình bình hành (hình vẽ))
Sửa lại: Chứng minh AFEC là hình bình hành
AFBE là hình thoi$\Rightarrow$ AF//EB $\Rightarrow$AF//EC
AFBE là hình thoi $\Rightarrow$AF = EB
Mà EB = EC $\Rightarrow$ AF = EC
Tứ giác AFEC có một cặp cạnh song song và bằng nhau $\Rightarrow$ AFEC là hình bình hành
c) Hình thoi AFBE là hình vuông $\Leftrightarrow$ $\widehat{AEB}=90{}^\circ$
$\widehat{AEB}=90{}^\circ$ $\Rightarrow$ AE $\bot$ EB $\Rightarrow$ AE là đường cao của $\Delta$ABC
Mà AE là trung tuyến của $\Delta$ABC
Khi đó, AE là trung tuyến đồng thời là đường cao của $\Delta$ABC $\Rightarrow$ $\Delta$ABC cân tại A
Vậy để AFBE là hình vuông thì $\Delta$ABC phải là tam giác vuông cân.