1. Ta có S = 9 + m + 12 + n + 21 = (9 + 12 + 21) + (m + n) = 42 + (m + n)
Trường hợp 1: $S\vdots 3$
Vì $42\vdots 3$ nên để $42+\left( m+n \right)\vdots 3\Rightarrow \left( m+n \right)\vdots 3$
Vậy để $S\vdots 3$ thì $\left( m+n \right)\vdots 3$
Trường hợp 2: $S\bcancel{\vdots }3$
Vì $42\vdots 3$ nên để $42+\left( m+n \right)\bcancel{\vdots }3\Rightarrow \left( m+n \right)\bcancel{\vdots }3$
Vậy để $S\bcancel{\vdots }3$ thì $\left( m+n \right)\bcancel{\vdots }3$

2. Theo đề bài ta có:
$$\left\{ \begin{align} & n+20\vdots 10 \\ & n-15\vdots 5 \\ & n+1\vdots 9 \\ \end{align} \right.$$ $$\Rightarrow \left\{ \begin{align} & n+20-10\vdots 10 \\ & n-15+25\vdots 5 \\ & n+1+9\vdots 9 \\ \end{align} \right.$$ $$\Rightarrow \left\{ \begin{align} & n+10\vdots 10 \\ & n+10\vdots 5 \\ & n+10\vdots 9 \\ \end{align} \right.$$ $$\Rightarrow n+10\in BC\left( 10;5;9 \right)$$

Đến đây thì vì không biết đoạn cuối của bạn viết thiêu điều kiện n gì hay không nên mình chỉ làm đến đây. Nếu n là số nhỏ nhất thì n = BCNN(10;5;9) là được nhé

2.
a) Vì 248, 14, 68 chia cho n có cùng số dư nên
$\left\{ \begin{align} & 248-14\vdots n \\ & 248-68\vdots n \\ & 68-14\vdots n \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 234\vdots n \\ & 180\vdots n \\ & 54\vdots n \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow n\in$ƯC$\left( 234;180;54 \right)$
Mà n là số lớn nhất nên $n=$ƯCLN$\left( 234;180;54 \right)$
Ta có: $234={{2.3}^{2}}.13;\,\,54={{3}^{3}}.2;\,\,180={{3}^{2}}{{.2}^{2}}.5$
Khi đó $n=$ƯCLN$\left( 234;180;54 \right)={{2.3}^{2}}=18$
Vậy n = 18