1. Ta có S = 9 + m + 12 + n + 21 = (9 + 12 + 21) + (m + n) = 42 + (m + n)
Trường hợp 1: $S\vdots 3$
Vì $42\vdots 3$ nên để $42+\left( m+n \right)\vdots 3\Rightarrow \left( m+n \right)\vdots 3$
Vậy để $S\vdots 3$ thì $\left( m+n \right)\vdots 3$
Trường hợp 2: $S\bcancel{\vdots }3$
Vì $42\vdots 3$ nên để $42+\left( m+n \right)\bcancel{\vdots }3\Rightarrow \left( m+n \right)\bcancel{\vdots }3$
Vậy để $S\bcancel{\vdots }3$ thì $\left( m+n \right)\bcancel{\vdots }3$

2. Theo đề bài ta có:
\[\left\{ \begin{align}
& n+20\vdots 10 \\
& n-15\vdots 5 \\
& n+1\vdots 9 \\
\end{align} \right.\] \[\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& n+20-10\vdots 10 \\
& n-15+25\vdots 5 \\
& n+1+9\vdots 9 \\
\end{align} \right.\] \[\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& n+10\vdots 10 \\
& n+10\vdots 5 \\
& n+10\vdots 9 \\
\end{align} \right.\] \[\Rightarrow n+10\in BC\left( 10;5;9 \right)\]

Đến đây thì vì không biết đoạn cuối của bạn viết thiêu điều kiện n gì hay không nên mình chỉ làm đến đây. Nếu n là số nhỏ nhất thì n = BCNN(10;5;9) là được nhé

2.
a) Vì 248, 14, 68 chia cho n có cùng số dư nên
$\left\{ \begin{align}
& 248-14\vdots n \\
& 248-68\vdots n \\
& 68-14\vdots n \\
\end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& 234\vdots n \\
& 180\vdots n \\
& 54\vdots n \\
\end{align} \right.$ $\Rightarrow n\in $ƯC$\left( 234;180;54 \right)$
Mà n là số lớn nhất nên $n=$ƯCLN$ \left( 234;180;54 \right)$
Ta có: $234={{2.3}^{2}}.13;\,\,54={{3}^{3}}.2;\,\,180={{3}^{2}}{{.2}^{2}}.5$
Khi đó $n=$ƯCLN$ \left( 234;180;54 \right)={{2.3}^{2}}=18$
Vậy n = 18