a) Xét ∆ADB và ∆ADE có:
AD chung
$\widehat{BAD}=\widehat{EAD}$ (vì AD là phân giác của $\widehat{BAC}$)
AB = AE (giả thiết)
Suy ra ∆ADB = ∆ADE (c.g.c)$\Rightarrow $DB = DE (hai cạnh tương ứng)
b) Theo câu a ta có ∆ADB = ∆ADE $\Rightarrow $ $\widehat{ADB}=\widehat{ADE}$ (hai góc tương ứng bằng nhau)
Mà $\widehat{BDA}=\widehat{EDC}$ (hai góc đối đỉnh)
Nên $\widehat{ADB}+\widehat{BDK}=\widehat{ADE}+\widehat{EDC}\Rightarrow \widehat{ADK}=\widehat{ADC}$
Xét ∆ADK và ∆ADC có:
$\widehat{BAD}=\widehat{EAD}$ (vì AD là phân giác của $\widehat{BAC}$)
AD chung
$\widehat{ADK}=\widehat{ADC}$ (chứng minh trên)
Suy ra ∆ADK = ∆ADC (g.c.g) $\Rightarrow \widehat{AKD}=\widehat{ACD}$ (hai góc tương ứng bằng nhau)
c) Theo câu b ta có ∆ADK = ∆ADC $\Rightarrow $ AK = AC, KD = CD (các cặp cạnh tương ứng bằng nhau)
Có AK = AC, AB = AE nên AK – AB = AC – AE $\Rightarrow $ BK = EC
Có DB = DE, DC = DK nên DB + DC = DE + DK $\Rightarrow $ BC = KE
Xét ∆KBE và ∆CEB có :
BK = CE (chứng minh trên)
$\widehat{BKE}=\widehat{ECB}$ (chứng minh trên)
KE = CB (chứng minh trên)
Suy ra ∆KBE = ∆CEB (c.g.c)
d) Ta có: ∆ADB = ∆ADE $\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{AED}$ (hai góc tương ứng)
Để $DE\bot AC$ nên $\widehat{AED}=90{}^\circ $. Khi đó $\widehat{ABD}=90{}^\circ $$\Rightarrow AB\bot BD$
Suy ra ∆ABC vuông tại B.
Vậy để $DE\bot AC$ thì ∆ABC vuông tại B