a) Vì ∆ABC cân tại A nên AB = AC, $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$
Xét ∆ABD và ∆ACE có:
$\widehat{BAC}$ chung
AB = AC (chứng minh trên)
$\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\left( =90{}^\circ \right)$
Suy ra ∆ABD = ∆ACE (g.c.g) $\Rightarrow AD=AE,BD=CE$ (các cặp cạnh tương ứng)
b) Vì AE = AD, AB = AC nên AE – AB = AD – AC $\Rightarrow $ BE = CD
Theo câu a có ∆ABD = ∆ACE $\Rightarrow \widehat{ADB}=\widehat{AEC}$(hai góc tương ứng)
Xét ∆IBE vuông tại B và ∆ICD vuông tại C có:
BE = CD (chứng minh trên)
$\widehat{BEI}=\widehat{CDI}$(chứng minh trên)
Suy ra ∆IBE = ∆ICD (cạnh góc vuông – góc nhọn kề nó)
$\Rightarrow $IE = ID (hai cạnh tương ứng)
Xét ∆AIE và ∆AID có:
AE = AD (chứng minh trên)
AI chung
IE = ID (chứng minh trên)
Suy ra ∆AIE = ∆AID (c.c.c) $\Rightarrow \widehat{BAI}=\widehat{IAC}$ (hai góc tương ứng)
c) Vì ∆ABC cân tại A nên $\widehat{ABC}=\frac{180{}^\circ -\widehat{BAC}}{2}$ (1)
Vì AE = AD nên ∆AED cân tại A, khi đó $\widehat{AED}=\frac{180{}^\circ -\widehat{BAC}}{2}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{AED}$
Mà hai góc ở vị trí đồng vị nên BC // ED
Gọi M là giao điểm của AI và ED
Xét ∆AME và ∆AMD có:
AM chung
$\widehat{MAE}=\widehat{MAD}$ (chứng minh trên)
AE = AD chứng minh trên
Suy ra ∆AME = ∆AMD (c.g.c) $\Rightarrow \widehat{AME}=\widehat{AMD}$(hai góc tương ứng)
Mà hai góc kề bù nên $\widehat{AME}=\widehat{AMD}=\frac{180{}^\circ }{2}=90{}^\circ $$\Rightarrow AI\bot DE$
d) Xét ∆ECD vuông tại C có $\widehat{CED}+\widehat{CDE}+\widehat{ECD}=180{}^\circ \Rightarrow 30{}^\circ +\widehat{CDE}+90{}^\circ =180{}^\circ \Rightarrow \widehat{CDE}=60{}^\circ $
Ta có: BC // ED nên $\widehat{ACB}=\widehat{ADE}$ (vì hai góc ở vị trí đồng vị)
Mà $\widehat{CDE}=60{}^\circ $ (chứng minh trên) nên $\widehat{ACB}=60{}^\circ $
Xét ∆ABC cân tại A có $\widehat{ACB}=60{}^\circ $ nên ∆ABC đều
Vậy để $\widehat{IED}=30{}^\circ $ thì ∆ABC đều