a) Xét ∆AIB và ∆AIC có:
AB = AC (giả thiết)
AI chung
IB = IC (vì I là trung điểm BC)
Suy ra ∆AIB = ∆AIC (c.c.c)
$\Rightarrow \widehat{ABI}=\widehat{ACI},\widehat{BAI}=\widehat{CAI}$ (các cặp góc tương ứng)
Vì $\widehat{BAI}=\widehat{CAI}$ nên AI là tia phân giác của $\widehat{BAC}$
b) Ta có: $\widehat{ABC}=\widehat{ACB};\widehat{ABC}+\widehat{ABM}=180{}^\circ ;\widehat{ACB}+\widehat{ACN}=180{}^\circ $
Suy ra $\widehat{ABM}=\widehat{ACN}$
Xét ∆ABM và ∆ACN có:
AB = AC (giả thiết)
$\widehat{ABM}=\widehat{ACN}$ (chứng minh trên)
BM = CN (giả thiết)
Suy ra ∆ABM = ∆ACN (c.g.c) $\Rightarrow $ AM = AN (hai cạnh tương ứng)
c) Vì ∆AIB = ∆AIC (chứng minh trên) nên $\widehat{AIB}=\widehat{AIC}$ (hai góc tương ứng)
Mà hai góc kề bù nên $\widehat{AIB}=\widehat{AIC}=\frac{180{}^\circ }{2}=90{}^\circ $ $\Rightarrow AI\bot BC$