a) Xét ∆CDE và ∆CBF có :
CD = CB (Vì ABCD là hình vuông)
$\widehat{C\text{D}E}=\widehat{CBF}$($={{90}^{o}}$)
DE = BF (gt)
$\Rightarrow $∆CDE = ∆CBF (c.g.c)
$\Rightarrow $CE = CF (tương ứng) và $\widehat{DCE}=\widehat{BCF}$ (tương ứng)
Ta có : $\widehat{DCE}+\widehat{ECB}={{90}^{o}}$
\[\Rightarrow \widehat{BCF}+\widehat{ECB}={{90}^{o}}\]
\[\Rightarrow \widehat{ECF}={{90}^{o}}\]
Xét ∆ECF có :
EC = FC (cmt)
$\widehat{ECF}={{90}^{o}}$(cmt)
Suy ra ∆ECF vuông cân tại C
b) Gọi O là giao điểm của AC và BC
$\Rightarrow O$là trung điểm AC
Gọi M’ là trung điểm EF
Xét ∆AEF vuông tại A có:
AM’ là trung tuyến ứng với cạnh huyền EF
$\Rightarrow $ $AM'=\frac{EF}{2}$
Xét ∆ECF vuông tại C có:
CM’ là trung tuyến ứng với cạnh huyền EF
$\Rightarrow CM'=\frac{EF}{2}$
$\Rightarrow $CM’ = AM’
$\Rightarrow $∆AM’C là tam giác cân tại M’
$\Rightarrow $ M’O là đường cao đồng thời là trung tuyến
$\Rightarrow M'O\bot AC$
Mà BD ⊥ AC (tính chất đường chéo hình vuông)
$\Rightarrow $M’ ∈ BD
Mà M’ ∈ EF
$\Rightarrow $M’ là giao điểm EF, BC$\Rightarrow M'\equiv M$
Suy ra M là trung điểm EF