a) Vì OA = OB; AC = BD nên OA + AC = OB + BD $\Leftrightarrow OC=OD$
Xét ∆OAD và ∆OBC có
OA = OB (giả thiết)
$\widehat{AOB}$ chung
OD = OC (chứng minh trên)
Suy ra ∆OAD = ∆OBC (c.g.c)
$\Rightarrow AD=BC$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau)
b) Vì ∆OAD = ∆OBC (chứng minh a) nên $\widehat{ODA}=\widehat{OCB}$ (hai góc tương ứng bằng nhau); $\widehat{OAD}=\widehat{OBC}$ (hai góc tương ứng bằng nhau)
Ta có $\widehat{OAD}+\widehat{EAC}=180{}^\circ$ (hai góc kề bù); $\widehat{OBC}+\widehat{CBD}=180{}^\circ$ (hai góc kề bù); $\widehat{OAD}=\widehat{OBC}$
$\Rightarrow \widehat{DAC}=\widehat{CBD}$
Xét ∆EAC và ∆EBD có:
$\widehat{ECA}=\widehat{EDB}$ (chứng minh trên)
AC = BD (giả thiết)
$\widehat{EAC}=\widehat{EBD}$ (chứng minh trên)
Suy ra ∆EAC = ∆EBD (g.c.g)
c) Vì ∆EAC = ∆EBD (theo câu b) nên EC = ED (hai cạnh tương ứng bằng nhau)
Xét ∆OED và ∆OEC có
OE chung
OC = OD (chứng minh trên)
EC = ED (chứng minh trên)
Suy ra ∆OED = ∆OEC (c.c.c)
$\Rightarrow \widehat{EOC}=\widehat{EOD}$ (hai góc tương ứng bằng nhau)
$\Rightarrow$OE là phân giác của $\widehat{xOy}$
Gọi OE cắt CD tại H
Xét ∆OHC và ∆OHD có:
OH chung
$\widehat{HOC}=\widehat{HOD}$(chứng minh trên
OC = OD (chứng minh trên)
Suy ra ∆OHC = ∆OHD (c.g.c)
$\Rightarrow \widehat{OHC}=\widehat{OHD}$ (hai góc tương ứng bằng nhau)
Mà $\widehat{OHC}+\widehat{OHD}=180{}^\circ$ (hai góc kề bù) nên $\widehat{OHD}=\widehat{OHC}=\frac{180{}^\circ }{2}=90{}^\circ$
$\Rightarrow OH\bot CD$hay $OE\bot CD$
d) Xét ∆OBK và ∆OAK có:
OB = OA (giả thiết)
KB = KA (vì K là trung điểm AB)
OK chung
Suy ra ∆OBK = ∆OAK (c.c.c)
$\Rightarrow \widehat{KOB}=\widehat{KOA}$ (hai góc tương ứng bằng nha)
$\Rightarrow $OK là phân giác của $\widehat{AOB}$
Mà OE là phân giác của $\widehat{AOB}$ nên O, E, K thẳng hàng