Cho tam giác ABC có $\widehat{B}=\widehat{C}$. Tia phân giác của góc $\widehat{A}$ cắt $BC$ tại $D.$ Chứng minh rằng:
a) $\Delta ADC=\Delta ADB$
b) $AB=AC$
Bài giải:
a) Xét tam giác $ABD$ có: $\widehat{ABD}+\widehat{ADB}+\widehat{BAD}={{180}^{o}}$
$\Rightarrow \widehat{ADB}={{180}^{o}}-\widehat{ABD}-\widehat{BAD}.$
Xét tam giác $ACD$ có: $\widehat{ACD}+\widehat{ADC}+\widehat{CAD}={{180}^{o}}$
\[\Rightarrow ADC={{180}^{o}}-\widehat{ACD}-\widehat{CAD}\]
Mà $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}$(giả thiết); $\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$ ($AD$ là phân giác của góc $\widehat{BAC}$)
Suy ra $\widehat{ADB}=\widehat{ADC}$
Xét tam giác $ABD$ và tam giác $ACD$ có:
\[\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\] ($AD$ là phân giác của góc $\widehat{BAC}$)
$AD:chung$
$\widehat{ADB}=\widehat{ADC}$(chứng minh trên)
$\Rightarrow \Delta ABD=\Delta ACD\left( c.g.c \right)$
b) Có $\Delta ABD=\Delta ACD$(chứng minh trên)
$\Rightarrow AB=AC$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau)