a) Xét tam giác $\Delta ABE\And \Delta ADE$ có:
$\widehat{BAE}=\widehat{DAE}$ ($AE$ là phân giác $\widehat{BAC}$)
$AE:$ chung
$BA=DA$
$\Rightarrow \Delta ABE=\Delta ADE\left( c.g.c \right)$
b) Xét tam giác $\Delta ABH\And \Delta ADH$ có:
$\widehat{BAH}=\widehat{DAH}$ ($AE$ là phân giác $\widehat{BAC}$)
$AH:$ chung
$BA=DA$
$\Rightarrow \Delta ABH=\Delta ADH\left( c.g.c \right)$
$\Rightarrow \widehat{AHB}=\widehat{AHD}$ (hai góc tương ứng bằng nhau)
Mà hai góc ở vị trí kề bù nên $$\widehat{AHB}+\widehat{AHD}={{180}^{o}}$$
Nên $\Rightarrow \widehat{AHB}=\widehat{AHD}={{90}^{o}}$hay $AE\bot BD$ tại $H.$
c) Có $\Delta ABE=\Delta ADE\left( c.g.c \right)$ nên $BE=DE$ (hai cạnh tương ứng)
Xét $\Delta MBE\And \Delta CDE$ có:
$BE=DE$ (chứng minh trên)
$\widehat{MEB}=\widehat{CED}$ (đối đỉnh)
$ME=CE$ (giả thiết)
$\Rightarrow \Delta MBE=\Delta CDE\left( c.g.c \right)$
$\Rightarrow BM=DC$ (hai cạnh tương ứng)
Vậy $AB+BM=AD+DC$ hay $AM=AC$ hay $\Delta AMC$ cân ở $A.$
Xét tam giác cân $ABD$ có: $\widehat{ABD}=\frac{{{180}^{o}}-\widehat{BAC}}{2}\ \ \ \ \ \ \left( 1 \right)$
Xét tam giác cân $AMC$ có:$\widehat{AMC}=\frac{{{180}^{o}}-\widehat{BAC}}{2}\ \ \ \ \ \ \left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)\left( 2 \right)$ suy ra $$\widehat{ABD}=\widehat{AMC}$$
Mà hai góc ở vị trí đồng vị của $BD$ và $MC.$ Từ đó, suy ra $BD//MC.$
Vì $BD//MC$ nên suy ra hai góc so le trong bằng nhau: $\widehat{DBC}=\widehat{MCB}$
Có: $\widehat{ABM}=\widehat{ABD}+\widehat{DBC}+\widehat{CBM}$
Mà $$\left\{ \begin{align} & \widehat{ABD}=\widehat{AMC}\left( cmt \right) \\ & \widehat{DBC}=\widehat{MCB}\left( cmt \right) \\ \end{align} \right.$$
Vậy $\widehat{ABM}=\widehat{AMC}+\widehat{MCB}+\widehat{CBM}={{180}^{o}}$ (Tổng 3 góc trong tam giác $\Delta BMC$)
Hay $\widehat{ABM}={{180}^{o}}$ hay $$\widehat{ABM}$$ là góc bẹt. Hay $A,B,M$ thẳng hàng.