a) Xét ∆EAB và ∆EFC có:
EC = EB (vì E là trung điểm BC)
\[\widehat{AEB}=\widehat{CEF}\]
EA = EF (giả thiết)
Suy ra ∆EAB = ∆EFC (c.g.c)
b) Vì ∆EAB = ∆EFC (chứng minh trên) nên $\widehat{EAB}=\widehat{EFC}$ (hai góc tương ứng)
Mà hai góc ở vị trí so le trong nên AB // CF
c) Vì AB // CF nên $\widehat{FCA}+\widehat{CAB}=180{}^\circ $
Mà $\widehat{CAB}=90{}^\circ $nên $\widehat{ACF}=90{}^\circ $
Xét ∆ABC vuông tại A và ∆CAF vuông tại C có:
CF = AB (vì ∆EAB = ∆EFC)
AC chung
Suy ra ∆ABC = ∆CAF (hai cạnh góc vuông)
$\Rightarrow AF=CB$(hai cạnh tương ứng)
Mà $AE=\frac{1}{2}AF$nên $AE=\frac{1}{2}BC$
d) Xét ∆AEC và ∆FEB có:
AE = FE
$\widehat{AEC}=\widehat{FEB}$ (hai góc đối đỉnh)
CE = EB
Suy ra ∆AEC = ∆FEB (c.g.c)
$\Rightarrow \widehat{CAE}=\widehat{BFE}$ (hai góc tương ứng)
Mà hai góc ở vị trí so le trong nên CA // FB
Mà $CA\bot AB$ nên $AB\bot BF$.