Ta cần tìm k nhỏ nhất sao cho $\overline{abcd}\times 87=59k+42$
Ta có:
$\overline{abcd}.87=59k+42$
$\Rightarrow \overline{abcd}=\frac{59k+42}{87}$
Do $\overline{abcd}$ là số tự nhiên nên $\frac{59k+42}{87}$ là số tự nhiên
$\Rightarrow 59k+42\vdots 87$
Mà 87 = 3.29 nên $59k+42\vdots 3$ và 29.
Xét $59k+42\vdots 3$
Do $42\vdots 3$ nên $59k\vdots 3$
Mà (59, 3) = 1 nên $k\vdots 3$
$\Rightarrow k+42\vdots 3$(1)
Xét $59k+42\vdots 29$
$\Rightarrow 58k+k+42\vdots 3$
Mà $58\vdots 29$
$\Rightarrow k+42\vdots 29$(2)
Từ (1)(2)$\Rightarrow k+42\vdots 87$
$\Rightarrow k+42\in \text{B}(87)$
Mà $\overline{abcd}.87=59k+42$
Nên $k=\frac{\overline{abcd}.87-42}{59}$
Do $\overline{abcd}\ge 1000$ nên $k=\frac{\overline{abcd}.87-42}{59}\ge \frac{1000.87-42}{59}>1473$
$\Rightarrow k+42>1560$
Mà $k+42\in \text{B}(87)$ nên $k+42=1566$
Nên k = 1524
Vậy $\overline{abcd}=\frac{59.1524+42}{87}=1043$
Vậy số cần tìm nhỏ nhất là 1043.