Bài 1:
a) Gọi I, K lần lượt là trung điểm AB, AC
Xét ∆AEB vuông tại E có EI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $IE=IA=IB=\frac{1}{2}AB$
Xét ∆AFC vuông tại F có FK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $\Rightarrow KF=KA=KC=\frac{1}{2}AC$
Xét ∆ABC có: K là trung điểm AC, M là trung điểm BC
$\Rightarrow$ KM là đường trung bình của ∆ABC $\Rightarrow KM//=\frac{1}{2}AB$
Xét ∆ABC có: I là trung điểm AB, M là trung điểm BC
$\Rightarrow$ IM là đường trung bình của ∆ABC $\Rightarrow IM//=\frac{1}{2}AC$
Xét ∆AFC vuông tại F có $\widehat{FAC}+\widehat{FCA}=90{}^\circ \Rightarrow \widehat{ACF}=90{}^\circ -\widehat{FAC}=90{}^\circ -21{}^\circ =69{}^\circ$
Xét ∆KFC có KF = KC. Suy ra ∆KFC cân tại K $\Rightarrow \widehat{KFC}=180{}^\circ -2\widehat{KCF}=180{}^\circ -2.69{}^\circ =42{}^\circ$
Xét ∆AEB vuông tại E có $\widehat{EAB}+\widehat{EBA}=90{}^\circ \Rightarrow \widehat{ABE}=90{}^\circ -\widehat{EAB}=90{}^\circ -21{}^\circ =69{}^\circ$
Xét ∆IEB có IE = IB. Suy ra ∆IEB cân tại I $\widehat{EIB}=180{}^\circ -2\widehat{IBE}=180{}^\circ -2.69{}^\circ =42{}^\circ$
Ta có IM // AC nên $\widehat{BIM}=\widehat{BAC}$ (vì hai góc đồng vị)
MK // AB nên $\widehat{CKM}=\widehat{CAB}$ (vì hai góc đồng vị)
Suy ra $\widehat{BIM}=\widehat{CKM}\Rightarrow \widehat{BIM}+42{}^\circ =\widehat{CKM}+42{}^\circ \Rightarrow \widehat{BIM}+\widehat{EIB}=\widehat{CKM}+\widehat{CKF}\Rightarrow \widehat{EIM}=\widehat{FKM}$
Xét ∆EIM và ∆MKF có
$EI=MK\left( =\frac{1}{2}AB \right)$
$\widehat{EIM}=\widehat{FKM}$
$IM=KF\left( =\frac{1}{2}AC \right)$
Suy ra ∆EIM = ∆MKF $\Rightarrow ME=MF$(hai cạnh tương ứng bằng nhau)
$\Rightarrow$∆MEF cân tại M
b) Vì KM // AB nên $\widehat{IMK}=\widehat{MIB}$(vì hai góc so le trong)
Vì ∆EIM = ∆MKF nên $\widehat{KMF}=\widehat{IEM}$ (hai góc tương ứng bằng nhau)
Ta có: $$\widehat{EMF}=\widehat{EMI}+\widehat{IMK}+\widehat{KMF}=\widehat{EMI}+\widehat{BIM}+\widehat{IEM}=180-\widehat{EIM}+\widehat{BIM}=180{}^\circ -\widehat{EIB}=180{}^\circ -42{}^\circ =138{}^\circ$$
Vì ∆MEF cân tại M nên $\widehat{MEF}=\widehat{MFE}=\frac{180{}^\circ -\widehat{EMF}}{2}=\frac{180{}^\circ -138{}^\circ }{2}=21{}^\circ$

Bài 2
a) Xét ∆BCD có $\widehat{ACB}=\widehat{CBD}+\widehat{CDB}$ (tính chất góc ngoài tam giác)
Vì ∆ABC cân tại A nên $\widehat{ACB}=\widehat{ABC}$
Ta có $\widehat{ABD}=\widehat{ABC}+\widehat{CBD}=\widehat{ACB}+\widehat{CBD}=\widehat{CBD}+\widehat{CDB}+\widehat{CBD}=2\widehat{CBD}+\widehat{CDB}$
b) Vì ∆ABC cân tại A nên $\widehat{ABC}=\frac{180{}^\circ -\widehat{BAC}}{2}=\frac{180{}^\circ -30{}^\circ }{2}=75{}^\circ$
Ta có: $\widehat{ABD}=\widehat{ABC}+\widehat{CBD}\Rightarrow 90{}^\circ =75{}^\circ +\widehat{CBD}\Rightarrow \widehat{CBD}=90{}^\circ -75{}^\circ =15{}^\circ$