Trường hợp 1: p = 2, ta có:
p + 20 = 22 là hợp số (loại)
Trường hợp 2: p = 3, ta có:
p + 20 = 23 là số nguyên tố
p + 34 = 37 là số nguyên tố (chọn)
Trường hợp 3: p > 3
Do p là số nguyên tố nên p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 (k $\in $N)
Trường hợp 3.1: p = 3k + 1
Ta có: p + 20 = 3k + 21 = 3(k + 7) $\vdots $ 3
Mà p + 20 > 3 nên p + 20 là hợp số (loại)
Trường hợp 3.2: p = 3k + 2
Ta có: p + 34 = 3k + 2 + 34 = 3(k + 12) $\vdots $ 3
Mà p + 34 > 3 nên p + 34 là hợp số (loại)
Vậy số cần tìm là p = 3