Tìm các số tự nhiên $x,y$ thỏa mãn:
$\left( {{2}^{x}}+1 \right)\left( {{2}^{x}}+2 \right)\left( {{2}^{x}}+3 \right)\left( {{2}^{x}}+4 \right)-{{5}^{y}}=11879$
$\left( {{2}^{x}}+1 \right)\left( {{2}^{x}}+4 \right)\left( {{2}^{x}}+2 \right)\left( {{2}^{x}}+3 \right)=11879+{{5}^{y}}$
$\left( {{2}^{2x}}+{{5.2}^{x}}+4 \right)\left( {{2}^{2x}}+{{5.2}^{x}}+6 \right)=11879+{{5}^{y}}$
$\left[ \left( {{2}^{2x}}+{{5.2}^{x}}+5 \right)-1 \right]\left[ \left( {{2}^{2x}}+{{5.2}^{x}}+5 \right)+1 \right]=11879+{{5}^{y}}$
${{\left( {{2}^{2x}}+{{5.2}^{x}}+5 \right)}^{2}}-1=11879+{{5}^{y}}$
${{\left( {{2}^{2x}}+{{5.2}^{x}}+5 \right)}^{2}}=11880+{{5}^{y}}$
+) TH1: $y=0$
${{\left( {{2}^{2x}}+{{5.2}^{x}}+5 \right)}^{2}}={{109}^{2}}$
${{2}^{2x}}+{{5.2}^{x}}+5=109$ (do $x$ là các số tự nhiên)
$\left[ \begin{align}
& {{2}^{x}}=-13 \\
& {{2}^{x}}=8 \\
\end{align} \right.$ Vậy $x=3.$
+) TH2: $y > 0$
Ta có: ${{2}^{2x}}$ không chia hết cho 5, ${{5.2}^{x}}+5$ chia hết cho 5.
Nên ${{2}^{2x}}+{{5.2}^{x}}+5$ không chia hết cho 5.
Trong khi VP chia hết cho 5.
Vậy nên không có giá trị nào của $x,y$ thỏa mãn.
Vậy $\left( x;y \right)\in \left\{ \left( 3;0 \right) \right\}$ là giá trị cần tìm.