a) Ta có: $\widehat{DAB}=\widehat{CAE}\left( =90{}^\circ \right)\Rightarrow \widehat{DAB}+\widehat{BAC}=\widehat{CAE}+\widehat{BAC}\Rightarrow \widehat{DAC}=\widehat{EAB}$
Xét ∆DAC và ∆BAE có:
AD = AB (vì ∆ADB vuông cân tại A)
$\widehat{DAC}=\widehat{BAE}$ (chứng minh trên)
AE = AC (vì ∆AEC vuông cân tại A)
Suy ra ∆DAC = ∆BAE (c.g.c)
$\Rightarrow BE=CD$ (hai cạnh tương tứng bằng nhau)
b) Gọi I là giao của CD và BE
Vì ∆DAC = ∆BAE (chứng minh trên) nên $\widehat{DCA}=\widehat{BEA}$ (hai góc tương ứng bằng nhau)
Vì ∆AEC vuông cân tại A nên $\widehat{AEC}+\widehat{ACE}=90{}^\circ$
$\Rightarrow \widehat{AEB}+\widehat{BEC}+\widehat{ACE}=90{}^\circ$
$\Rightarrow \widehat{BEC}+\widehat{ACE}+\widehat{ACD}=90{}^\circ$( do $\widehat{DCA}=\widehat{BEA}$)
$\Rightarrow \widehat{IEC}+\widehat{ICE}=90{}^\circ$
Xét ∆IEC có $\widehat{IEC}+\widehat{ICE}+\widehat{EIC}=180{}^\circ \Rightarrow 90{}^\circ +\widehat{EIC}=180{}^\circ \Rightarrow \widehat{EIC}=90{}^\circ$
Suy ra $CD\bot BE$
c) Xét ∆IBC vuông tại I (do $CD\bot BE$) có: $B{{C}^{2}}=I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}}$
xét ∆ICE vuông tại I (do $CD\bot BE$) có $C{{E}^{2}}=I{{C}^{2}}+I{{E}^{2}}$
Xét ∆IED vuông tại I (do $CD\bot BE$) có $D{{E}^{2}}=I{{E}^{2}}+I{{D}^{2}}$
Xét ∆IBD vuông tại I (do $CD\bot BE$) có $B{{D}^{2}}=I{{D}^{2}}+I{{B}^{2}}$
Khi đó: $B{{D}^{2}}+C{{E}^{2}}=\left( I{{D}^{2}}+I{{B}^{2}} \right)+\left( I{{C}^{2}}+I{{E}^{2}} \right)=\left( I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}} \right)+\left( I{{D}^{2}}+I{{E}^{2}} \right)=B{{C}^{2}}+D{{E}^{2}}$
Vậy $B{{D}^{2}}+C{{E}^{2}}=B{{C}^{2}}+D{{E}^{2}}$
d) Gọi $AK\bot DE$ tại H
Kẻ $BM\bot AK$ tại M, $CN\bot AK$ tại N
Ta có $\widehat{HEA}+\widehat{HAE}=90{}^\circ$(hai góc phụ nhau)
Mà $\widehat{HAE}+\widehat{NAC}=90{}^\circ$(hai góc phụ nhau)
Nên $\widehat{HEA}=\widehat{NAC}$
Xét ∆AHE và ∆ANC có:
AE = AC
$\widehat{HEA}=\widehat{NAC}$ (chứng minh trên)
Suy ra ∆AHE = ∆ANC (cạnh huyền – góc nhọn)$\Rightarrow HA=NC$(hai cạnh tương ứng)
CM tương tự có ∆ADH = ∆ABM (cạnh huyền – góc nhọn) $\Rightarrow HA=BM$ (hai cạnh tương ứng)
Suy ra $BM=NC$
Xét ∆BMK vuông tại M và ∆CNK vuông tại N có:
BM = CN (chứng minh trên)
$\widehat{MKB}=\widehat{NKC}$ (hai góc đối đỉnh)
Suy ra ∆BMK = ∆CNK $\Rightarrow KB=KC$ (hai cạnh tương ứng)
$\Rightarrow$ K là trung điểm BC