a) Gọi I là trung điểm của CD
Xét ∆ABC có:
$\widehat{ACD}=\widehat{ABC}+\widehat{BAC}=45{}^\circ +15{}^\circ =60{}^\circ $
Xét ∆CDE vuông tại E có $\widehat{ECD}=60{}^\circ $
$\Rightarrow \widehat{E\text{D}C}={{30}^{o}}$
$\Rightarrow CE=\frac{1}{2}CD$
Mà $CI=ID=\frac{1}{2}CD$ (Vì I là trung điểm CD); $BC=\frac{1}{2}CD$ (giả thiết)
Nên $EC=BC=IC=ID$
Xét ∆CEI có: $CE=CI;\widehat{ECI}=60{}^\circ $ nên ∆CEI là tam giác đều
$\Rightarrow CE=IE;\widehat{EIC}=60{}^\circ $
Ta có: $\widehat{ECI}=\widehat{EIC}$
$\widehat{BCE}+\widehat{ECI}=180{}^\circ $ (hai góc kề bù)
$\widehat{EID}+\widehat{EIC}=180{}^\circ $ (hai góc kề bù)
Nên $\widehat{ECB}=\widehat{EID}$
Xét ∆ECB và ∆EID có
EC = EI (chứng minh trên)
$\widehat{ECB}=\widehat{EID}$ (chứng minh trên)
CB = ID (chứng minh trên)
Suy ra ∆ECB = ∆EID $\Rightarrow EB=ED$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau)
b) Vì ∆ECB = ∆EID (cmt)
$\Rightarrow $ $\widehat{EBC}=\widehat{E\text{D}I}$ (cặp cạnh tương ứng)$\Rightarrow \widehat{EBC}={{30}^{o}}$
Ta có:
$\widehat{ABC}=\widehat{ABE}+\widehat{EBC}$$\Rightarrow \widehat{ABE}={{45}^{o}}-{{30}^{o}}={{15}^{o}}$
Xét ∆ABE có $\widehat{ABE}=\widehat{BA\text{E}}\left( ={{15}^{o}} \right)$
$\Rightarrow $ ∆ABE cân tại E
$\Rightarrow A\text{E}=BE$
Mà BE = DE (cmt)
$\Rightarrow $AE = ED
$\Rightarrow $∆AED cận tại E
$\Rightarrow $$\widehat{E\text{AD}}=\widehat{E\text{D}A}$
Ta có: $\widehat{E\text{AD}}+\widehat{A\text{D}E}+\widehat{E\text{D}C}+\widehat{DCE}={{180}^{o}}$
$\begin{align}
& \Rightarrow 2\widehat{A\text{D}E}+\widehat{E\text{D}C}+\widehat{DCE}={{180}^{o}} \\
& \Rightarrow \widehat{A\text{D}E}=\frac{{{180}^{o}}-{{30}^{o}}-{{60}^{o}}}{2}={{45}^{o}} \\
\end{align}$
$\Rightarrow \widehat{A\text{DB}}=\widehat{A\text{D}E}+\widehat{E\text{D}C}={{45}^{o}}+{{30}^{o}}={{75}^{o}}$