a)
+) Xét tam giác $ABD$ có:
M là trung điểm AB, P là trung điểm BD
Nên MP là đường trung bình trong tam giác ABD.
Vậy $MP//AD$ và $MP=\frac{1}{2}AD.$
+) Xét tam giác ADC có:
Q là trung điểm AC, N là trung điểm của DC
Nên NQ là đường trung bình trong tam giác ADC.
Vậy $NQ//AD$ và $NQ=\frac{1}{2}AD.$
Từ trên suy ra $NQ//MP$ và $NQ=MP\left( =\frac{1}{2}AD. \right)$
+) Xét tứ giác MPNQ có:
$NQ//MP$
$NQ=MP$
Nên tứ giác MPNQ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
b) Dễ dàng chứng minh được $MQ$ là đường trung bình trong tam giác ABC nên ta có:
$MQ=\frac{1}{2}BC$,lại có: $NQ=\frac{1}{2}AD$
Để tứ giác MPNQ là hình thoi ta phải có:
$NQ=MQ$hay $\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC$
Hay $AD=BC$
Vậy muốn MPNQ là hình thoi thì hình thang ABCD cần thêm điều kiện $AD=BC$hay hình thang phải cân.