$A={{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{n}^{2}}$ (n ∈ N)
$A=1+2.\left( 1+1 \right)+3.\left( 2+1 \right)+...+n.\left( n-1+1 \right)$
$A=1+1.2+2+2.3+3+...+\left( n-1 \right).n+n$
$A=\left( 1+2+3+...+n \right)+\left( 1.2+2.3+3.4+...+\left( n-1 \right).n \right)$
$A=\frac{n\left( n+1 \right)}{2}+\frac{n\left( n+1 \right)\left( n-1 \right)}{3}$
$A=\frac{3n\left( n+1 \right)+2n\left( n+1 \right)\left( n-1 \right)}{6}$
$A=\frac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{6}$

A
=
1
+
2.
(
1
+
1
)
+
3.
(
2
+
1
)
+
.
.
.
+
n
.
(
n
−
1
+
1
)

A
=
1
+
1.2
+
2
+
2.3
+
3
+
.
.
.
+
(
n
−
1
)
.
n
+
n

A
=
(
1
+
2
+
3
+
.
.
.
+
n
)
+
(
1.2
+
2.3
+
3.4
+
.
.
.
+
(
n
−
1
)
.
n
)

A
=
n
(
n
+
1
)
2
+
n
(
n
+
1
)
(
n
−
1
)
3

A
=
3
n
(
n
+
1
)
+
2
n
(
n
+
1
)
(
n
−
1
)
6

A
=
n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
6