$A={{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{n}^{2}}$ (n ∈ N)
$A=1+2.\left( 1+1 \right)+3.\left( 2+1 \right)+...+n.\left( n-1+1 \right)$
$A=1+1.2+2+2.3+3+...+\left( n-1 \right).n+n$
$A=\left( 1+2+3+...+n \right)+\left( 1.2+2.3+3.4+...+\left( n-1 \right).n \right)$
$A=\frac{n\left( n+1 \right)}{2}+\frac{n\left( n+1 \right)\left( n-1 \right)}{3}$
$A=\frac{3n\left( n+1 \right)+2n\left( n+1 \right)\left( n-1 \right)}{6}$
$A=\frac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{6}$