Nhận xét:
Với số a chẵn, ${{a}^{4}}$ luôn tận cùng là 6 nên ${{a}^{4k}}$ cũng tận cùng là 6.
Ta có: ${{a}^{4k+1}}$ – a = a(${{a}^{4k}}$ – 1)
Do ${{a}^{4k}}$ tận cùng là 6 nên ${{a}^{4k}}$ – 1 tận cùng là 5.
Mà a chẵn nên a(${{a}^{4k}}$ – 1) tận cùng là 0
Với số a lẻ, ${{a}^{4}}$ luôn tận cùng là 1 nên ${{a}^{4k}}$ cũng tận cùng là 1
Ta có: ${{a}^{4k+1}}$ – a = a(${{a}^{4k}}$ – 1)
Do${{a}^{4k}}$ tận cùng là 1 nên ${{a}^{4k}}$ – 1 tận cùng là 0.
Nên a(${{a}^{4k}}$ – 1) tận cùng là 0
Vậy ${{a}^{4k+1}}$ luôn tận cùng là a
Nên S = \[{{2}^{1}}+\text{ }{{3}^{5}}+\text{ }{{4}^{9}}~+\text{ }\ldots +\text{ }{{2004}^{8009}}\] có tận cùng = 2 + 3 + … + 2004
Mà 2+ 3 + … + 2004 = (2 + 2004) . 2003 : 2 = 1003 . 2003 và có tận cùng là 9.
Vậy S có tận cùng là 9

Nhận xét:
Với số a chẵn,
a
4
luôn tận cùng là 6 nên
a
4
k
cũng tận cùng là 6.
Ta có:
a
4
k
+
1
– a = a(
a
4
k
– 1)
Do
a
4
k
tận cùng là 6 nên
a
4
k
– 1 tận cùng là 5.
Mà a chẵn nên a(
a
4
k
– 1) tận cùng là 0
Với số a lẻ,
a
4
luôn tận cùng là 1 nên
a
4
k
cũng tận cùng là 1
Ta có:
a
4
k
+
1
– a = a(
a
4
k
– 1)
Do
a
4
k
tận cùng là 1 nên
a
4
k
– 1 tận cùng là 0.
Nên a(
a
4
k
– 1) tận cùng là 0
Vậy
a
4
k
+
1
luôn tận cùng là a
Nên S =
2
1
+

3
5
+

4
9

+

…
+

2004
8009
có tận cùng = 2 + 3 + … + 2004
Mà 2+ 3 + … + 2004 = (2 + 2004) . 2003 : 2 = 1003 . 2003 và có tận cùng là 9.
Vậy S có tận cùng là 9