$\Delta $AIC và $\Delta $BIC có: chung chiều cao hạ từ C, đáy AI = BI $\Rightarrow {{S}_{AIC}}={{S}_{BIC}}$
$\Delta $AIG và $\Delta $BIG có: chung chiều cao hạ từ G, đáy AI = BI $\Rightarrow {{S}_{AIG}}={{S}_{BIG}}$
Vậy: ${{S}_{AIC}}-{{S}_{AIG}}={{S}_{BIC}}-{{S}_{BIG}}$hay ${{S}_{AGC}}={{S}_{BGC}}$ (1)
$\Delta $BKG và $\Delta $CKG có: chung chiều cao hạ từ G, đáy BK = CK $\Rightarrow {{S}_{BKG}}={{S}_{CKG}}=\frac{1}{2}{{S}_{BGC}}$(2)
Từ (1) và (2), suy ra:
${{S}_{AGC}}=2{{S}_{KGC}}$
Mà hai tam giác này có chung chiều cao hạ từ C, suy ra đáy: AG = 2GK
${{S}_{AKC}}=\frac{1}{2}{{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\times 180=90(c{{m}^{2}})$ (chung chiều cao hạ từ A, đáy KC = $\frac{1}{2}BC$ )
${{S}_{KGC}}=\frac{1}{3}{{S}_{AKC}}=\frac{1}{3}\times 90=30(c{{m}^{2}})$ (chung chiều cao từ C, đáy GK = $\frac{1}{3}AK$ )
${{S}_{BGC}}=2{{S}_{KGC}}=2\times 30=60(c{{m}^{2}})$