Bài giải:
a) Có: $\left\{ \begin{align}
& CD//AB \\
& CB\bot AB \\
\end{align} \right.$ theo quan hệ từ vuông góc đến song song suy ra: $CD\bot CB.$
Có:$\left\{ \begin{align}
& CD\bot CB \\
& AD//CB \\
\end{align} \right.$ theo quan hệ từ vuông góc đến song song, suy ra: $CD\bot AD.$
Xét tứ giác ABCD có:
$\widehat{CBA}=\widehat{BCD}=\widehat{CDA}={{90}^{o}}$
Theo dấu hiệu nhận biết, ta suy ra tứ giác ABCD là hình chữ nhật.
b)
+) Có: $M\in CD$, mà $CD//AB$ nên $MC//AB\ \ \ \ \ \ \left( 1 \right)$
Lại có: $M$ đối xứng với $D$ qua $C$ nên $MC=CD$
Tứ giác ABCD là hình chữ nhật vậy nên: $CD=AB$
Hay $MC=AB\ \ \ \ \ \ \left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)\And \left( 2 \right)$ suy ra tứ giác ABMC có:
$\begin{align}
& MC//AB \\
& MC=AB \\
\end{align}$ nên tứ giác ABMC là hình bình hành.
Vì ABMC là hình bình hành nên hai đường chéo BC và AM cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Hay I là trung điểm BC.
Lại có K là giao của hai đường chéo trong hình chữ nhật ABCD nên cũng có: K là trung điểm của AC và BD.
Xét tam giác ABC có:
I là trung điểm của BC
K là trung điểm của AC
Nên IK là đường trung bình của tam giác ABC.
Vậy \[IK//AB\] (điều phải chứng minh)
c) Xét tam giác MDF có
$AB//MD$ và $AB=\frac{1}{2}MD$
Nên ta có: $AB$ là đường trung bình trong tam giác MDF.
Hay A là trung điểm của DF, B là trung điểm của MF.
Vậy thì: DB và MA là hai đường trung tuyến trong tam giác MDF.
Hai đường này đồng quy tại H.
Lại có C là trung điểm của MD nên FC là đường trung tuyến thứ ba.
Theo định lý ta có: FC cũng đồng quy với DB và MA tại H.
Hay H thuộc FC.
Hay F, H, C thẳng hàng.
d) Xét tam giác BMD có:
BC, MK là các đường trung tuyến cắt nhau tại N.
Vậy thì N là trọng tâm của tam giác BMD.
Hay $NC=\frac{1}{3}BC.$
Lại có: $IK=\frac{1}{2}AB$
Vậy nên diện tích tam giác CKN có:
${{S}_{CKN}}=\frac{1}{2}NC.IK=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}BC.\frac{1}{2}AB=\frac{1}{6}.\frac{1}{2}BC.AB=\frac{1}{6}{{S}_{ABC}}=\frac{1}{6}.24=4\left( c{{m}^{2}} \right)$
Vậy ${{S}_{CKN}}=4c{{m}^{2}}.$