Nhận xét : Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1 (các lũy thừa đều có dạng ${{n}^{4(n-2)+1}}$ với $n\text{ }\in \text{ }\{2,\text{ }3,\text{ }...\text{ }2004\}$

Theo tính chất, mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng giống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng :

$\left( 2+3+..+9 \right)+199.\left( 1+2+..+9 \right)+1+2+3+4=200\left( 1+2+...+9 \right)\text{ }+9\text{ }=\text{ }9009.$

Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9.

Dạng tổng quát của từng số hạng của S là ${{n}^{4\left( n-2 \right)+1}}$ với $n\in \mathbb{N}*$
Vì các số hạng của tổng có cơ số là n và số mũ là $4\left( n-2 \right)+1$ nên chữ số tận cùng của từng số hạng sẽ chính là chữ số tận cùng của cơ số của nó.
(Chữ số tận cùng của ${{2}^{1}}$ là 2, ${{3}^{5}}$ là 5,…, ${{2004}^{8009}}$ là 4)
Ta có : (cộng các chữ sỗ tận cùng của từng số hạng)
$2+3+4+...+2004=\left( 2004+2 \right)\times \left[ \left( 2004-1 \right)+1 \right]:2=2009009$
Vậy chữ số tận cùng của S là 9