Ta có với mọi $a,b,c\in \mathbb{N}$ thì
${{2016}^{a}}=1\left( a=0 \right)$ hoặc $...6\left( a\ne 0 \right)$
${{2015}^{b}}=1\left( b=0 \right)$ hoặc $...5\left( b\ne 0 \right)$
${{2014}^{c}}=1\left( c=0 \right)$ hoặc $...4$( $c$ lẻ) hoặc $...6$( $c$ chẵn)
Nếu ${{2016}^{a}}={{1,2015}^{b}}={{1,2014}^{c}}=1$ thì ${{2016}^{a}}\ne {{2015}^{b}}+{{2014}^{c}}$, do đó không tồn tại 3 số tự nhiên thỏa mãn điều kiện đề bài.
Xét ${{2016}^{a}}=...6$, để dấu “=” xảy ra thì ${{2015}^{b}}=...5$ và ${{2014}^{c}}=1.$
Khi đó ta có ${{2016}^{a}}={{2015}^{b}}+1.$
Với $a = 1, b = 1$ ta có 2016 = 2015 + 1 (thỏa mãn).
Với $a > 1, b > 1$ thì $\left| {{2016}^{a}}-{{2015}^{b}} \right| > 1$ nên không tồn tại các số thỏa mãn điều kiện đề bài.
Nếu $a,b,c\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ thì ${{2015}^{b}}+{{2014}^{c}}$ sẽ có tận cùng là 1 hoặc 9, trong khi ${{2016}^{a}}$ có tận cùng là 6.
Do đó không tồn tại các số thỏa mãn điều kiện đề bài.
Vậy 3 số $a, b, c$ thỏa mãn điều kiện đề bài lần lượt là 1, 1, 0.